Licenciatura en Economía · FECEA

Microeconomía III

Licenciatura en Economía, FCEA Udelar. Preguntas de parciales reales, no inventadas.

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Parcial real · Microeconomía III
Un individuo con riqueza inicial 10 tiene u(w) = w si w <= 10 y u(w) = w/2 + 5 si w > 10, y enfrenta la lotería X = (-6, 1/2; 6, 1/2). ¿Cuál es su prima de riesgo?
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Representación de la interacción estratégica 24 preguntas
Dominancia, mejor respuesta y equilibrio de Nash 24 preguntas
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Estrategias mixtas y condición de indiferencia 26 preguntas
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Las instituciones como reglas que transforman juegos 27 preguntas
Actos, estados de la naturaleza y loterías 29 preguntas
Utilidad esperada: la hipótesis de Bernoulli 27 preguntas
Axiomas y teorema de Von Neumann y Morgenstern 24 preguntas
Aversión al riesgo, equivalente cierto y prima de riesgo 29 preguntas
Seguros: prima justa, disposición a pagar y deducibles 29 preguntas
Medidas de aversión al riesgo de Arrow y Pratt 31 preguntas Gratis
Diversificación y composición de cartera 28 preguntas
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Riesgo, incertidumbre y paradojas de la utilidad esperada 25 preguntas
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Información incompleta, tipos y conjeturas 22 preguntas
Estrategias y equilibrio bayesiano de Nash 26 preguntas
Resolver juegos bayesianos con matrices de pagos 34 preguntas Gratis
Aplicaciones: amigo del fiscal, entrada y financiamiento 26 preguntas
Cournot y otros juegos continuos con información asimétrica 22 preguntas
Tipos continuos: umbrales, purificación y subasta doble 23 preguntas
Selección adversa en juegos bayesianos 24 preguntas
Mecanismos directos y principio de revelación 23 preguntas
La subasta como institución económica 23 preguntas
Valoraciones, formatos estándar y equivalencias 25 preguntas
La subasta como juego bayesiano 25 preguntas
Subasta de segundo precio y subasta inglesa 25 preguntas
Subasta de primer precio y subasta holandesa 25 preguntas
El principio de equivalencia de ingresos 32 preguntas Gratis
Valores comunes y la maldición del ganador 23 preguntas
Cuando fallan los supuestos: riesgo, asimetría, correlación, entrada y colusión 23 preguntas
Diseño de subastas: instrumentos, precio de reserva y valores virtuales 23 preguntas
Subastas reales: casos de diseño 22 preguntas
Juegos dinámicos con información incompleta y equilibrio bayesiano perfecto 17 preguntas
Juegos de señalización: equilibrios separadores y agrupadores 15 preguntas
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Señalización en el mercado de trabajo: el modelo de Spence 22 preguntas
Información oculta y selección adversa en los mercados 21 preguntas
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Seguros con selección adversa: el modelo de Rothschild y Stiglitz 20 preguntas
Riesgo moral: la acción oculta 22 preguntas
El contrato óptimo con riesgo moral 15 preguntas
Contratos incompletos, holdup y derechos de propiedad 22 preguntas

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Medidas de aversión al riesgo de Arrow y Pratt Gratis

La aproximación de Arrow y Pratt

Arrow (1965) y Pratt (1964) obtuvieron de forma independiente una fórmula que aproxima la prima de riesgo por la dispersión del riesgo multiplicada por la curvatura de la utilidad.

Según la aproximación de Arrow y Pratt, la prima de riesgo de un riesgo pequeño de media cero y varianza sigma^2 es aproximadamente (1/2) sigma^2 A(w).

Precisión de la aproximación y tamaño del riesgo

Con u = raíz, A(w) = 1/(2w), y para la variedad resistente de Los Molinos, con riesgo de más o menos 5.000 sobre 62.600, la prima aproximada es 99,84 frente a una exacta de 100.

Para la variedad tradicional de Los Molinos, con riesgo de más o menos 25.000 sobre 65.000, la prima aproximada es 2.403,85 frente a una exacta de 2.500, una subestimación del 3,8 %.

Un individuo con riqueza inicial 10 tiene u(w) = w si w <= 10 y u(w) = w/2 + 5 si w > 10, y enfrenta la lotería X = (-6, 1/2; 6, 1/2). ¿Cuál es su prima de riesgo?
A1,5, con equivalente cierto 8,5
B1,5, con equivalente cierto 11,5
C3, con equivalente cierto 7
D0, porque la utilidad es lineal en cada tramo
Correcta: 1,5, con equivalente cierto 8,5. La riqueza final es 4 o 16: E[u] = 0,5(4) + 0,5(13) = 8,5, que cae en el tramo w <= 10, así que CE = 8,5 y la prima es 10 - 8,5 = 1,5.
Con riqueza 10 y u(w) = w si w <= 10 y w/2 + 5 si w > 10, ¿se puede aplicar la aproximación de Arrow y Pratt a la lotería (-6, 1/2; 6, 1/2)?
ASí: el riesgo es pequeño en relación con la riqueza inicial de 10
BSí: la función es cóncava, de modo que la aproximación es exacta
CNo: la función es convexa en el tramo superior
DNo: u no es diferenciable en 10, y fuera del quiebre u'' = 0 daría una prima nula, cuando la exacta es 1,5
Correcta: No: u no es diferenciable en 10, y fuera del quiebre u'' = 0 daría una prima nula, cuando la exacta es 1,5. La aversión proviene del quiebre y no de la curvatura: es aversión de primer orden.
Con riqueza 10 y u(w) = w si w <= 10 y w/2 + 5 si w > 10, la lotería X = (-6, 1/2; 6, 1/2) tiene prima 1,5. ¿Cuál es la prima de Y = (-3, 1/2; 3, 1/2) y qué muestra la comparación?
A1,5: la prima no depende del tamaño del riesgo
B0,75: la prima es proporcional al desvío (h/4), no a la varianza
C0,375: la prima cae a la cuarta parte, como predice Arrow y Pratt
D0: con riesgos pequeños el individuo es neutral
Correcta: 0,75: la prima es proporcional al desvío (h/4), no a la varianza. Riqueza 7 o 13: E[u] = 0,5(7) + 0,5(11,5) = 9,25, prima 0,75. En general la prima es h/4: reducir el riesgo a la mitad la reduce a la mitad (aversión de primer orden).
Si el individuo con u(w) = w si w <= 10 y w/2 + 5 si w > 10 tuviera riqueza 20, ¿cuáles serían las primas de las loterías (-6, 1/2; 6, 1/2) y (-3, 1/2; 3, 1/2)?
A3 y 1,5, el doble que con riqueza 10
B0,75 y 0,375, la mitad que con riqueza 10
CAmbas nulas: los resultados quedan en el tramo lineal superior
D1,5 y 0,75, iguales que con riqueza 10
Correcta: Ambas nulas: los resultados quedan en el tramo lineal superior. Con riqueza 20 los resultados (14 a 26) están en el tramo lineal: el individuo es localmente neutral y A(20) = 0.
Un individuo con u(w) = -e^(-aw), a > 0, enfrenta un riesgo de ganar o perder 1.000 con probabilidad 1/2. ¿Qué se puede afirmar de sus coeficientes de aversión?
AA(w) = -a negativo: el agente es amante del riesgo
BA(w) = aw creciente (IARA) y R(w) = a constante (CRRA)
CA(w) = a constante (CARA) y R(w) = aw creciente (IRRA)
DA(w) = a/w decreciente (DARA) y R(w) = a constante (CRRA)
Correcta: A(w) = a constante (CARA) y R(w) = aw creciente (IRRA). u' = a e^(-aw) > 0 y u'' = -a^2 e^(-aw) < 0: A = a y R = aw.
Con u(w) = -e^(-aw) y un riesgo de más o menos 1.000 con probabilidad 1/2, la prima exacta F cumple e^(aF) = cosh(1.000a). ¿Cuánto vale F con a = 0,0001 y con a = 0,0003?
AAproximadamente 49,92 y 147,80, sin depender de la riqueza
BExactamente 50 y 150, sin depender de la riqueza
CAproximadamente 0,005 y 0,044, en proporción de la riqueza
DAproximadamente 49,92 y 147,80, decrecientes con la riqueza
Correcta: Aproximadamente 49,92 y 147,80, sin depender de la riqueza. F = ln(cosh(1.000a))/a: 0,0049917/0,0001 y 0,0443458/0,0003. El factor e^(-aw) se cancela: CARA implica prima independiente de w.

Resolver juegos bayesianos con matrices de pagos Gratis

La forma normal ex ante paso a paso

Para resolver un juego bayesiano con matrices se identifica al jugador informado, se listan sus estrategias como combinaciones de acciones por tipo y se calculan las utilidades esperadas de cada perfil.

La utilidad esperada de un perfil pondera, con la probabilidad de cada tipo, el pago que obtiene cada jugador en la matriz de ese tipo con las acciones prescritas.

Cuando el informado conoce en qué juego está

En el práctico 3 el azar elige con probabilidad 1/2 entre dos juegos y solo el jugador 1 sabe cuál es, de modo que el jugador 1 tiene dos tipos y cuatro estrategias: AA, AB, BA y BB.

En el juego del práctico 3 en que el azar elige con probabilidad 1/2 entre dos juegos que solo conoce el jugador 1, este elige A o B y el jugador 2 elige I o D; en el juego 1 solo (A, I) paga (1, 1) y en el juego 2 solo (B, D) paga (2, 2), con pagos nulos en el resto.

Dos jugadores: el jugador 1 elige A o B y el jugador 2 elige I o D, simultáneamente. El azar elige con probabilidad 1/2 entre el juego 1 y el juego 2; solo el jugador 1 sabe cuál. Pagos: Juego 1: (A, I) = (1, 1); (A, D) = (0, 0); (B, I) = (0, 0); (B, D) = (0, 0) Juego 2: (A, I) = (0, 0); (A, D) = (0, 0); (B, I) = (0, 0); (B, D) = (2, 2) ¿Cuáles son todos los equilibrios bayesianos de Nash?
A(AA, I) y (BB, D)
B(AA, D), (AB, I) y (BB, I)
CSolo (AB, D)
D(AA, I), (AB, D) y (BB, D)
Correcta: (AA, I), (AB, D) y (BB, D). E1 = {AA, AB, BA, BB}, E2 = {I, D}. Pagos ex ante: (AA, I) y (AB, I) dan 1/2 a ambos; (AB, D) y (BB, D) dan 1; el resto 0. Las mejores respuestas coinciden en (AA, I), (AB, D) y (BB, D).
El jugador 1 elige A o B y el jugador 2 elige I o D. El jugador 2 es de tipo 1 con probabilidad 1/3 o de tipo 2 con 2/3, y solo él lo sabe. Pagos: Tipo 1: (A, I) = (1, 1); (A, D) = (0, 0); (B, I) = (3, 0); (B, D) = (6, 2) Tipo 2: (A, I) = (0, 0); (A, D) = (1, 6); (B, I) = (2, 0); (B, D) = (0, 12) ¿Cuáles son los equilibrios bayesianos de Nash?
A(A, II) y (B, DI)
BSolo (A, ID)
C(A, ID) y (B, DD)
DSolo (B, DD)
Correcta: (A, ID) y (B, DD). Pagos ex ante: (A, ID) = (1; 13/3) y (B, DD) = (2; 26/3). Frente a A el jugador 2 elige ID; frente a ID el jugador 1 es indiferente (1 y 1). Frente a B elige DD y frente a DD el jugador 1 prefiere B (2 > 2/3). La solución oficial escribe u1(A, ID) = 2/3, u1(A, II) = 0 y u2(DD, B) = 27/3 y concluye solo (B, DD); con los pagos del enunciado esos valores son 1, 1/3 y 26/3, y hay dos equilibrios, como muestra la checklist del curso.
El jugador 1 elige C o D y el jugador 2 elige J o K. El jugador 1 es de tipo 1 con probabilidad 1/5 o de tipo 2 con 4/5, y solo él lo sabe. Pagos: Tipo 1: (C, J) = (0, 5); (C, K) = (10, 0); (D, J) = (1, 0); (D, K) = (4, 5) Tipo 2: (C, J) = (0, 4); (C, K) = (6, 0); (D, J) = (2, 0); (D, K) = (0, 20) ¿Cuáles son los equilibrios bayesianos en estrategias puras?
ASolo (DD, K)
B(CC, J) y (DD, K)
CSolo (CD, J)
DNo hay equilibrios bayesianos en estrategias puras
Correcta: No hay equilibrios bayesianos en estrategias puras. Ninguna matriz tiene equilibrio en puras y en la forma normal ex ante (por ejemplo (CC, J) da 0 y 21/5) las mejores respuestas no coinciden en ninguna celda.
Un estudiante elige copiar (C) o ser honesto (H) y un profesor elige monitorear (M) o no (N). Profesor blando: (C, M) = (0, 1); (C, N) = (2, 0); (H, M) = (1, 2); (H, N) = (1, 3). Profesor duro: (C, M) = (0, 1); (C, N) = (2, 0); (H, M) = (1, 4); (H, N) = (1, 3). El estudiante cree que el profesor es duro con probabilidad q < 1/2. ¿Cuáles son los equilibrios bayesianos en estrategias puras?
ASolo (C, NM)
BNo hay equilibrios en estrategias puras
CSolo (H, MM)
D(H, MM) y (C, NM)
Correcta: No hay equilibrios en estrategias puras. El duro monitorea siempre; el blando monitorea si copia y no si es honesto. Frente a MM el estudiante elige H (1 > 0); frente a H el profesor juega NM; frente a NM, copiar da 2(1 - q) > 1: las mejores respuestas giran.
La empresa 2 es de tipo alfa con probabilidad 0,9 o beta con 0,1. La empresa 1 elige U o D y la 2 elige L o R. Pagos: alfa: (U, L) = (2, 2); (U, R) = (-2, 0); (D, L) = (0, -2); (D, R) = (0, 0) beta: (U, L) = (0, 2); (U, R) = (1, 0); (D, L) = (1, -2); (D, R) = (2, 0) ¿Existen equilibrios de Nash en estrategias puras del juego bayesiano?
ASí: (U, LR) y (D, RL)
BSí: solo (U, LL)
CNo existen
DSí: (U, LL) y (D, RR)
Correcta: Sí: (U, LL) y (D, RR). Pagos ex ante de la empresa 1: U frente a LL 1,8, LR 1,9, RL -1,8, RR -1,7; D: 0,1, 0,2, 0,1, 0,2. Frente a U la 2 elige LL (2) y frente a D, RR (0).
La empresa 2 puede ser de tipo beta con probabilidad 0,1 o alfa con 0,9; la empresa 1 tiene las acciones U y D y la empresa 2 las acciones L y R. ¿Cuáles son las estrategias de los jugadores?
AE1 = {U, D} y E2 = {L, R}
BE1 = {UU, UD, DU, DD} y E2 = {L, R}
CE1 = {U, D} y E2 = {LL, RL, LR, RR}
DE1 = {UL, UR, DL, DR} y E2 = {LU, LD, RU, RD}
Correcta: E1 = {U, D} y E2 = {LL, RL, LR, RR}. Solo la empresa 2 tiene información privada: elige una acción por tipo.

El principio de equivalencia de ingresos Gratis

Ingreso realizado, ingreso esperado y pago esperado

El pago realizado en una subasta concreta es una variable aleatoria antes de abrir los sobres y es lo que se observa una vez.

El ingreso esperado del vendedor promedia el pago sobre todas las realizaciones posibles de las valoraciones, y es lo que compara el principio de equivalencia de ingresos.

El ingreso esperado con estadísticas de orden

En segundo precio con valoraciones uniformes el ingreso es la segunda estadística de orden, de modo que E[R_II] = E[V(n−1)] = (n − 1)/(n + 1).

En primer precio con valoraciones uniformes el ganador tiene V(n) y paga (n − 1)V(n)/n, de modo que E[R_I] = [(n − 1)/n] × [n/(n + 1)] = (n − 1)/(n + 1).

En una subasta de tercer precio con n ≥ 3 jugadores de valoraciones i.i.d. uniformes en (0, 1), usando el teorema de equivalencia del ingreso y suponiendo b(v) = αv, ¿cuál es la función de oferta simétrica?
Ab(v) = v
Bb(v) = (n − 1)v/n
Cb(v) = (n − 2)v/(n − 1)
Db(v) = (n − 1)v/(n − 2)
Correcta: b(v) = (n − 1)v/(n − 2). El tipo v gana con probabilidad v^(n−1) y, si gana, paga α por la segunda mayor valoración rival, de esperanza (n − 2)v/n. Igualando con el pago esperado de segundo precio, v^(n−1)(n − 1)v/n, sale α = (n − 1)/(n − 2) > 1.
Con la oferta de equilibrio de tercer precio b(v) = (n − 1)v/(n − 2) y valoraciones uniformes en (0, 1), ¿cómo se compara la recaudación esperada con la de primer y segundo precio?
AEs menor, porque se cobra la tercera oferta
BEs (n − 2)/(n + 1), menor que en los otros dos formatos
CEs la misma, (n − 1)/(n + 1)
DEs mayor, porque los participantes ofertan más que su valoración
Correcta: Es la misma, (n − 1)/(n + 1). El ganador paga b(V(n−2)) y E[V(n−2)] = (n − 2)/(n + 1), de modo que el ingreso esperado es (n − 1)/(n + 1), igual que en primer y segundo precio.
Dos compradores con valoraciones i.i.d. uniformes en (0, 1) compiten por un bien. Gana la oferta más alta, pero ambos pagan su oferta. Si el rival usa b(v) = v²/2, ¿cuál es el problema de un jugador de valoración v y su solución?
AMaximizar (v − b)·Pr(ganar); el óptimo es b = v/2
BMaximizar v·Pr(ganar) − b eligiendo b; con b = z²/2 gana con probabilidad z y el óptimo es z = v
CMaximizar Pr(ganar); el óptimo es b = v
DMaximizar v − b; el óptimo es b = 0
Correcta: Maximizar v·Pr(ganar) − b eligiendo b; con b = z²/2 gana con probabilidad z y el óptimo es z = v. U(z; v) = vz − z²/2, con derivada v − z: el óptimo es z = v, es decir, ofertar v²/2. Se verifica el equilibrio bayesiano de Nash simétrico.
En la subasta donde todos pagan con dos compradores uniformes en (0, 1) y oferta b(v) = v²/2, ¿cuál es el ingreso esperado del rematador?
A1/3
B2/3
C1/6
D1/2
Correcta: 1/3. Cada uno paga v²/2 con E[v²/2] = 1/6; dos participantes: 1/3.
Con dos compradores uniformes en (0, 1), ¿cómo se compara el ingreso esperado de la subasta donde todos pagan con el de primer y segundo precio?
AEs igual en los tres formatos, 1/3
BEs mayor en la subasta donde todos pagan, porque pagan también los perdedores
CEs igual al de primer precio y mayor que el de segundo precio
DEs menor en la subasta donde todos pagan, porque las ofertas son más bajas
Correcta: Es igual en los tres formatos, 1/3. Los tres asignan el bien a quien más valora y dan utilidad cero al tipo más bajo: por equivalencia recaudan (n − 1)/(n + 1) = 1/3.
En una subasta de sobre cerrado donde todos pagan su oferta, con cuatro oferentes de valoraciones i.i.d. uniformes en (0, 1) y bajo las condiciones del teorema de equivalencia, ¿cuál es la recaudación esperada del vendedor?
A3/4
B4/5
C1/3
D3/5
Correcta: 3/5. Por equivalencia coincide con la de segundo precio: E[V(3)] con cuatro uniformes, (n − 1)/(n + 1) = 3/5.

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