Cálculo II

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Dominio y recorrido de funciones de varias variables Gratis

Definición de dominio de una función de varias variables

Si f: A ⊆ R^d → R, el dominio A de f, que también se escribe Dom(f), es el conjunto de puntos de R^d donde la función está definida.

Una función f: A ⊆ R^2 → R es una función de dos variables y una función f: A ⊆ R^3 → R es una función de tres variables.

Condiciones típicas para hallar dominios

Una raíz cuadrada √(g(x, y)) solo está definida donde el radicando cumple g(x, y) ≥ 0.

Un cociente de funciones de varias variables está definido solo en los puntos donde el denominador es distinto de 0.

¿Cuál es el dominio de f(x, y) = √(x - y^2)?

A{(x, y) ∈ R^2 : x ≥ y^2}

B{(x, y) ∈ R^2 : y ≥ x^2}

C{(x, y) ∈ R^2 : x > y^2}

D{(x, y) ∈ R^2 : x ≤ y^2}

Correcta: {(x, y) ∈ R^2 : x ≥ y^2}. La raíz cuadrada pide radicando ≥ 0: x - y^2 ≥ 0, es decir x ≥ y^2. La desigualdad es no estricta porque √0 = 0 está definida.

¿Cuál es el dominio de f(x, y) = ln(x^2 + y^2 - 1)?

AR^2

B{(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 < 1}

C{(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 > 1}

D{(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≥ 1}

Correcta: {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 > 1}. El logaritmo pide argumento estrictamente positivo: x^2 + y^2 - 1 > 0, es decir x^2 + y^2 > 1, el exterior del círculo de centro (0, 0) y radio 1.

¿Cuál es el dominio de f(x, y) = 1/(x - y)?

A{(x, y) ∈ R^2 : x ≠ 0, y ≠ 0}

B{(x, y) ∈ R^2 : x > y}

C{(x, y) ∈ R^2 : y ≠ x}

DR^2

Correcta: {(x, y) ∈ R^2 : y ≠ x}. Un cociente pide denominador distinto de 0: x - y ≠ 0, es decir el plano sin la recta y = x.

¿Cuál es el dominio de f(x, y) = 1/√(9 - x^2 - y^2)?

A{(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 < 3}

B{(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 9}

C{(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≠ 9}

D{(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 < 9}

Correcta: {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 < 9}. La raíz pide 9 - x^2 - y^2 ≥ 0 y, por estar en el denominador, además ≠ 0: 9 - x^2 - y^2 > 0, el disco abierto de centro (0, 0) y radio 3.

¿Cuál es el dominio de f(x, y) = √y + ln(x)?

A{(x, y) ∈ R^2 : x > 0, y > 0}

B{(x, y) ∈ R^2 : x > 0} ∪ {(x, y) ∈ R^2 : y ≥ 0}

C{(x, y) ∈ R^2 : x > 0, y ≥ 0}

D{(x, y) ∈ R^2 : x ≥ 0, y ≥ 0}

Correcta: {(x, y) ∈ R^2 : x > 0, y ≥ 0}. √y pide y ≥ 0 y ln(x) pide x > 0; como deben cumplirse las dos, el dominio es la intersección, no la unión.

¿Cuál es el recorrido de f(x, y) = 3 - x^2 - y^2?

B(-∞, 3]

C[3, +∞)

D(-∞, 3)

Correcta: (-∞, 3]. Como x^2 + y^2 toma todos los valores de [0, +∞), 3 - (x^2 + y^2) toma todos los valores ≤ 3; el 3 se alcanza en (0, 0).

Función diferenciable en un punto Gratis

Repaso: la derivada en una variable como aproximación lineal

Una función f: A ⊆ R → R es derivable en p ∈ Int(A) cuando el límite de (f(p + h) − f(p))/h con h → 0 existe y es finito, y ese límite es f'(p).

Una función f: A ⊆ R → R es derivable en p si y solo si existen un número real k y una función r con f(x) = f(p) + k(x − p) + r(x − p) para todo x ∈ A y lím x→p r(x − p)/(x − p) = 0, y en ese caso k = f'(p).

Definición de función diferenciable en un punto

Una función f: A ⊆ R^d → R es diferenciable en p ∈ Int(A) si existen una matriz Jf(p) de tamaño 1 × d y una función r tales que f(x) = f(p) + Jf(p)(x − p) + r(x − p) para todo x ∈ A, con lím x→p r(x − p)/∥x − p∥ = 0.

La matriz fila Jf(p) que aparece en la definición de función diferenciable se llama matriz jacobiana de f en p.

Si f: A ⊆ R^3 → R es diferenciable en p ∈ Int(A), ¿de qué tamaño es la matriz Jf(p) que aparece en la definición de diferenciabilidad?

A3 × 3

B3 × 1

C1 × 3

D1 × 1

Correcta: 1 × 3. Para f: A ⊆ R^d → R la jacobiana de la definición es una matriz fila 1 × d; con d = 3 es 1 × 3.

En la definición de función diferenciable en p, f(x) = f(p) + Jf(p)(x − p) + r(x − p), ¿qué condición debe cumplir el resto r?

Alím x→p r(x − p)/∥x − p∥ = 1

Br(x − p) = 0 para todo x ∈ A

Clím x→p r(x − p) = 0, sin más condiciones

Dlím x→p r(x − p)/∥x − p∥ = 0

Correcta: lím x→p r(x − p)/∥x − p∥ = 0. La definición exige que el resto sea un infinitésimo de orden mayor que ∥x − p∥, es decir lím x→p r(x − p)/∥x − p∥ = 0. Que r tienda a 0 es consecuencia, pero no alcanza.

Para f(x, y) = e^(4x − 2y) − sen(2x + y), ¿cuál es la diferencial de f en (0, 0)?

ADf,(0,0)(x, y) = 6x − y

BDf,(0,0)(x, y) = 2x − 3y

CDf,(0,0)(x, y) = 2x + 3y

DDf,(0,0)(x, y) = 4x − 2y

Correcta: Df,(0,0)(x, y) = 2x − 3y. D1 f(0, 0) = 4e^0 − 2cos(0) = 2 y D2 f(0, 0) = −2e^0 − cos(0) = −3, y como f es diferenciable en (0, 0), Df,(0,0)(x, y) = Jf(0, 0)(x, y)^t = 2x − 3y.

Para f(x, y) = e^(4x − 2y) − sen(2x + y), ¿cuánto vale D2 f(0, 0)?

A−2

B−3

D−1

Correcta: −3. D2 f(x, y) = −2e^(4x − 2y) − cos(2x + y), que en (0, 0) vale −2 − 1 = −3. El error típico es olvidar el signo del coseno o el factor −2 de la regla de la cadena.

Para f: R^3 → R con f(x) = ∥x∥^2, ¿cuál es la matriz jacobiana Jf(p) en p = (1, −2, 3)?

A(2 −4 6)

B(2 4 6)

C(1 −2 3)

D(1 4 9)

Correcta: (2 −4 6). La matriz de derivadas parciales de ∥x∥^2 en p es 2p^t, así que en (1, −2, 3) vale (2 −4 6).

Si f: R^2 → R es diferenciable en p con ∇f(p) = (3, −1), ¿cuánto vale la diferencial Df,p(h) para h = (2, 5)?

A(6, −5)

B11

C−1

Correcta: 1. Df,p(h) = ⟨∇f(p), h⟩ = 3 · 2 + (−1) · 5 = 1. La diferencial de una función con valores reales devuelve un número, no un vector.

Extremos absolutos y teorema de Weierstrass Gratis

Definición de máximo y mínimo de una función en un conjunto

Dada f: A ⊆ R^d → R y C ⊆ A, el número M es el máximo de f en C si existe xM ∈ C con f(xM) = M y f(x) ≤ M para todo x ∈ C.

Dada f: A ⊆ R^d → R y C ⊆ A, el número m es el mínimo de f en C si existe xm ∈ C con f(xm) = m y m ≤ f(x) para todo x ∈ C.

Ejemplos resueltos: x^2 + y^2 y e^(−(x^2 + y^2)) en R^2

Para f(x, y) = x^2 + y^2 se cumple f(x, y) ≥ 0 = f(0, 0) en todo R^2, así que el mínimo absoluto de f en R^2 es 0 y se alcanza en (0, 0).

La función f(x, y) = x^2 + y^2 no tiene máximo absoluto en R^2, porque sobre la recta y = 0 se tiene f(x, 0) = x^2, que tiende a +∞ cuando x → +∞.

¿Cuál es el conjunto imagen f(R^2) de f(x, y) = e^(−(x^2 + y^2))?

A[1, +∞)

B(0, 1]

C[0, 1]

D(0, 1)

Correcta: (0, 1]. f es positiva, vale 1 en (0, 0) y f(x, 0) = e^(−x^2) tiende a 0 sin alcanzarlo: la imagen es (0, 1], con máximo 1 y sin mínimo.

Si f está acotada superiormente en C, entonces f tiene máximo absoluto en C.

AVerdadero

BFalso

Correcta: Falso. El máximo debe ser alcanzado: por ejemplo f(x, y) = −e^(−(x^2 + y^2)) está acotada superiormente por 0 en R^2 y nunca vale 0.

¿Qué extremos absolutos tiene f(x, y) = x^2 + y^2 en R^2?

AMínimo 0 en (0, 0) y máximo +∞

BMínimo 0 en (0, 0) y no tiene máximo

CMáximo 0 en (0, 0) y no tiene mínimo

DNo tiene extremos absolutos

Correcta: Mínimo 0 en (0, 0) y no tiene máximo. f(x, y) ≥ 0 = f(0, 0) en R^2, y f(x, 0) = x^2 tiende a +∞, así que no hay máximo (+∞ no es un valor de f).

¿Cuáles son las hipótesis del teorema de Weierstrass para que f tenga máximo y mínimo en C ⊆ R^d?

AC abierto y acotado y f continua en C

BC cerrado y acotado y f continua en C

CC cerrado y f diferenciable en C

DC acotado y f de clase C2 en C

Correcta: C cerrado y acotado y f continua en C. El teorema de Weierstrass pide C cerrado y acotado y f continua en C.

Si C no es acotado, una función continua en C nunca tiene máximo absoluto en C.

AVerdadero

BFalso

Correcta: Falso. Si falla una hipótesis de Weierstrass no se puede concluir nada: e^(−(x^2 + y^2)) es continua en R^2, que no es acotado, y tiene máximo 1.

¿En cuál de los siguientes casos el teorema de Weierstrass asegura la existencia de máximo y mínimo?

Af(x, y) = x^2 − y en {(x, y) ∈ R^2 : y ≥ 0}

Bf(x, y) = x^2 − y en {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 < 4}

Cf(x, y) = 1/(x^2 + y^2) en {(x, y) ∈ R^2 : 0 < x^2 + y^2 ≤ 4}

Df(x, y) = x^2 − y en {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 4}

Correcta: f(x, y) = x^2 − y en {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 4}. Solo en el primer caso el conjunto es cerrado y acotado y la función continua. El disco abierto no es cerrado, el semiplano no es acotado y {0 < x^2 + y^2 ≤ 4} no es cerrado.

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