Álgebra Lineal

Correcta: si a distinto de 2 (S) es compatible determinado para todo b. El determinante de la matriz del sistema es 2 - a, así que si a es distinto de 2 el sistema es compatible determinado para todo b. Si a = 2, escalerizando queda la fila (0 0 0 | b): compatible indeterminado si b = 0 e incompatible si b es distinto de 0.

Correcta: Si b = 0 tiene infinitas soluciones para un único valor de a.. El determinante de la matriz del sistema es 1 - a, así que es compatible determinado si a ≠ 1 (para todo b). Si a = 1, al escalerizar queda compatible indeterminado si b = 0 e incompatible si b ≠ 0; por eso con b = 0 hay infinitas soluciones solo para a = 1, y la incompatibilidad ocurre para a = 1 y cualquier b ≠ 0.

Correcta: Exactamente tres valores de a. El determinante de la matriz del sistema es 2a(a + 1)(1 - a). Por Cramer, el sistema es compatible determinado si y solo si ese determinante es no nulo, así que NO lo es exactamente para a = 0, a = 1 y a = -1.

Correcta: a = 1, b = 0. Escalerizando se llega a las filas (1, 1, 1 | 1), (0, -3, a - 2 | -2) y (0, 0, 2a - 2 | b). El sistema es compatible indeterminado si y solo si la última fila es nula: a = 1 y b = 0.

Correcta: Sólo (I) es verdadera. El determinante de la matriz del sistema es 2(a - 2). Si a ≠ 2 es compatible determinado para cualquier b, así que (II) es falsa (no exige b = 2). Si a = 2, escalerizando queda una fila (0 0 0 | b - 2): infinitas soluciones si b = 2 e incompatible si b ≠ 2, así que (I) es verdadera.

Correcta: si a ≠ 1 es compatible determinado; si a = 1 es compatible indeterminado cuando b = 3 e incompatible cuando b ≠ 3. El determinante de la matriz del sistema es 2a - 2: si a ≠ 1 la matriz es invertible y la solución es única. Si a = 1, escalerizando la ampliada queda la fila (0 0 0 | b - 3): infinitas soluciones si b = 3 y ninguna si b ≠ 3. (La resolución oficial intercambia por error a = 1 y a ≠ 1 en el texto, pero su conclusión es esta.)

Correcta: Solo (II) es correcta. det(M_U) = 3(a^2 - 1), que es distinto de 0 si a ≠ ±1: en ese caso U es L.I. y (I) es falsa. Si a = ±1 el determinante es 0, U es L.D. y el sistema homogéneo M_U X = 0 es compatible indeterminado, así que existe v ≠ 0 con M_U v = 0: (II) es verdadera.

Correcta: solo si a ≠ 2. U es LI si y solo si la matriz con esos vectores como columnas tiene determinante no nulo. Ese determinante vale 3a - 6 = -3(2 - a), que se anula solo en a = 2; por lo tanto U es LI si y solo si a ≠ 2.

Correcta: si y solo si a = 1 o a = 2. Tres vectores de R^3 son LD si y solo si el determinante de la matriz que los tiene como columnas es 0. Ese determinante vale -3(a - 1)(a - 2), que se anula exactamente para a = 1 y a = 2; para los demás valores U es LI.

Correcta: si y solo si a = 6. Escalerizando la matriz cuyas columnas son los vectores de U, el rango es 3 para todo a salvo a = 6. En ese caso (-1, 0, 6, 1) = -(1, 2, 0, 1) + 2(0, 1, 3, 1) y U es LD; para a ≠ 6 es LI.

Correcta: (I) y (II) son verdaderas. M_U es cuadrada n x n. U es LI si y solo si rango(M_U) = n si y solo si det(M_U) ≠ 0. Por lo tanto (I) es verdadera y (II) también: rango menor que n significa que las columnas son LD.

Correcta: si y solo si a = 1. Se plantea α(1, -1, 2, 1) + β(3, 3, -2, -3) + γ(2, a, 0, -1) = 0 y se escaleriza: queda una fila (0 0 -1 + a | 0). Si a ≠ 1 hay 3 escalones y solo la solución trivial (LI); si a = 1 hay infinitas soluciones y el conjunto es LD.

Correcta: {(1/sqrt(2))(-1, 0, 1, 0), (1/sqrt(10))(1, 2, 1, 2), (1/sqrt(10))(2, -1, 2, -1)}. Gram-Schmidt desde v1 = u4 = (-1, 0, 1, 0): v2 = u2 - (1/2)v1 = (1/2, 1, 1/2, 1), proporcional a (1, 2, 1, 2); v3 = u3 - (1/2)v1 - (9/10)v2' = (-2/5, 1/5, -2/5, 1/5), proporcional a (2, -1, 2, -1). Dividiendo por las normas sqrt(2), sqrt(10), sqrt(10) se obtiene la base ortonormal. Sin normalizar es solo ortogonal, y la base {u1, u3, u4} normalizada no es ortogonal.

Correcta: (1, 1, -1, 1). Con la base ortogonal {(-1, 0, 1, 0), (1, 2, 1, 2), (2, -1, 2, -1)}: P_S(v) = (-2/2)(-1, 0, 1, 0) + (4/10)(1, 2, 1, 2) + (-2/10)(2, -1, 2, -1) = (1, 1, -1, 1). (0, -1, 0, 1) es v - P_S(v), la componente ortogonal, y (2, 10, -2, 10) resulta de olvidar dividir entre <vi, vi>.

Correcta: (-1/3, 1/3, 1/3). w = α(-1, 1, 1) y v - w = (1 + α, 1 - α, 1 - α) debe ser ortogonal a (-1, 1, 1): -(1 + α) + 2(1 - α) = 0, α = 1/3. w = (-1/3, 1/3, 1/3) es la proyección de v sobre N(A); (4/3, 2/3, 2/3) es v - w, que está en N(A)⊥ y no en N(A).

Correcta: 2. El generador de S es ortogonal, así que P_S(p) = (<p, s1>/2) s1 + (<p, s2>/2) s2 = (-1/2)(1, 0, 1, 0) + (-1/2)(-1, 0, 1, 0) = (0, 0, -1, 0). Entonces p - P_S(p) = (0, 1, 0, -1) y d(p, S)^2 = 2.

Correcta: 1/3. Los generadores son ortogonales ((1)(0) + (-2)(1) + (2)(1) = 0), así que P_S(v) = (<v, g1>/||g1||^2) g1 + (<v, g2>/||g2||^2) g2 = (1/9)(1, -2, 2) + 0. Su norma es (1/9)·3 = 1/3.

Correcta: (1, -2, -1, 3). u3 = v3 - (<v3, u1>/||u1||^2) u1 - (<v3, u2>/||u2||^2) u2 = (5, 0, -1, 3) - (4/2)(1, 0, 1, 0) - (6/3)(1, 1, -1, 0) = (1, -2, -1, 3), que es ortogonal a u1 y a u2.