Contador Público · FECEA

Cálculo I

Contador Público, FCEA Udelar. Preguntas de parciales reales, no inventadas.

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Parcial real · Cálculo I
Sea f: R → R con derivada continua que cumple: f'(x) > 0 para todo x < 1, f'(x) < 0 para todo x > 1, y f(1) = 2. Se consideran: (I) f tiene un máximo absoluto en R que ocurre en x = 1 y vale 2. (II) lím x→+∞ f(x) = -∞. Entonces:
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Máximos y mínimos absolutos y optimización Gratis

Método para hallar extremos absolutos en [a, b]

Por el teorema de Weierstrass, una función continua en [a, b] siempre alcanza un máximo y un mínimo absolutos en ese intervalo.

Los candidatos a extremos absolutos de una función derivable en [a, b] son los extremos del intervalo y los puntos interiores donde la derivada se anula.

Ejemplos de extremos absolutos

Para f(x) = (x + 2)^3.(3 - x) en [-1, 2], el máximo absoluto es 16875/256 y el mínimo absoluto es 4.

Para g(x) = x^3 - 3x^2 + 2 en [-1, 4], el máximo absoluto es 18 y el mínimo absoluto es -2.

Sea f: R → R con derivada continua que cumple: f'(x) > 0 para todo x < 1, f'(x) < 0 para todo x > 1, y f(1) = 2. Se consideran: (I) f tiene un máximo absoluto en R que ocurre en x = 1 y vale 2. (II) lím x→+∞ f(x) = -∞. Entonces:
A(I) y (II) son verdaderas
B(I) es falsa y (II) es verdadera
C(I) es verdadera y (II) es falsa
D(I) y (II) son falsas
Correcta: (I) es verdadera y (II) es falsa. f crece en (-∞, 1) y decrece en (1, +∞), así que f(1) = 2 es el mayor valor de f en todo R: (I) es verdadera. Que f decrezca para x > 1 no obliga a que tienda a -∞ (puede acercarse a un valor finito), así que (II) es falsa.
Sea f(x) = x + 4/x y las afirmaciones: (I) f presenta en 2 un mínimo relativo. (II) El mínimo y el máximo absoluto de f en [1, 4] son respectivamente 4 y 5. Entonces:
A(I) es verdadera y (II) es verdadera
B(I) es verdadera y (II) es falsa
C(I) es falsa y (II) es verdadera
D(I) es falsa y (II) es falsa
Correcta: (I) es verdadera y (II) es verdadera. f'(x) = (x^2 - 4)/x^2 se anula en x = -2 y x = 2; es negativa entre 0 y 2 y positiva después de 2, así que en 2 hay un mínimo relativo. En [1, 4] los candidatos son f(1) = 5, f(2) = 2 + 4/2 = 4 y f(4) = 4 + 1 = 5: el mínimo absoluto es 4 y el máximo absoluto es 5. Ambas son verdaderas.
Sea m el mínimo absoluto de f(x) = x^4 - 4x - 1 en [2, 3]. Entonces:
Am = 68
Bm = 7
Cm = -1
Dm = -4
Correcta: m = 7. f'(x) = 4x^3 - 4 es positiva para x > 1, así que f es creciente en [2, 3] y su mínimo absoluto está en x = 2: f(2) = 16 - 8 - 1 = 7.
La función de demanda de determinado artículo es D(x) = 10^8 e^(-2x) (x ≥ 0), donde x es el precio del artículo (en cientos de pesos). El precio que se le debe asignar al artículo para que el ingreso sea máximo es:
Ax = 0 cientos de pesos
Bx = 1 cientos de pesos
Cx = 1/2 cientos de pesos
DNo existe tal valor de x
Correcta: x = 1/2 cientos de pesos. I(x) = 10^8 x e^(-2x), I'(x) = 10^8 (1 - 2x) e^(-2x): positiva antes de 1/2 y negativa después, máximo absoluto en x = 1/2.
Se considera la función f: (2, +∞) → R dada por f(x) = 4/x + L|(x - 2)/x|. Entonces el máximo absoluto de f en (2, +∞):
Ase alcanza en x = 4
Bno existe
Cse alcanza en x = 8
Dvale 1/2 + L(3/4)
Correcta: se alcanza en x = 4. f'(x) = -4/x^2 + 2/(x(x - 2)) = -2(x - 4)/(x^2 (x - 2)): positiva en (2, 4) y negativa en (4, +∞), así que el máximo absoluto está en x = 4 (vale 1 + L(1/2)).
Si f(x) = (x + 1)e^x, entonces:
AEl mínimo absoluto de f en (-∞, 0] es -2 y el máximo absoluto de f en (-∞, 0] es 0
BEl mínimo absoluto de f en (-∞, 0] es f(-2) y el máximo absoluto de f en (-∞, 0] no existe
CEl mínimo absoluto de f en (-∞, 0] es f(-2) y el máximo absoluto de f en (-∞, 0] es f(0)
DNo existe ni mínimo ni máximo absoluto de f en (-∞, 0]
Correcta: El mínimo absoluto de f en (-∞, 0] es f(-2) y el máximo absoluto de f en (-∞, 0] es f(0). f'(x) = (x + 2)e^x: decrece en (-∞, -2) y crece en (-2, 0]. Mínimo en x = -2 (f(-2) = -e^(-2)); como f → 0 en -∞ y f(0) = 1, el máximo es f(0).

Aplicaciones de Taylor: límites, cálculo numérico y puntos estacionarios Gratis

Cálculo de límites con desarrollos de Mac Laurin

Los desarrollos de Mac Laurin permiten calcular límites indeterminados cuando x tiende a 0 sustituyendo cada función por su desarrollo.

Para calcular lím x→0 (x - sen(x))/x^3 se usa sen(x) = x - x^3/6 + r3(x), y el numerador queda x^3/6 - r3(x).

Límites que se discuten según un parámetro

Para discutir lím x→0+ (e^x - 1 - x)/x^α según α positivo se usa el desarrollo de orden 2 de e^x, que da e^x - 1 - x = x^2/2 + r2(x).

El numerador e^x - 1 - x es equivalente a x^2/2, así que el límite se reduce a lím x→0+ (1/2) x^2/x^α.

Si se sabe que lím x→0 (sen(2x) - 2e^x + 2 + x^2 + a x^3)/x^4 = b con a ∈ R y b ∈ R, entonces:
Aa = 5/3 y b = -1/12
Ba = 1 y b = -1/12
Ca = 0 y b = 0
Da cualquiera y b = 0
Correcta: a = 5/3 y b = -1/12. Desarrollando el numerador hasta orden 4: (a - 5/3)x^3 - x^4/12 + o(x^4). Para que el límite sea finito, a = 5/3, y entonces b = -1/12.
Los valores de a y b reales para los cuales lím x→0 (e^x + cos(x) - a - x)/x^3 = b son:
Aa = -2 y b = 1/6
Ba = 1 y b = -1/6
Ca = 2 y b = 1/3
Da = 2 y b = 1/6
Correcta: a = 2 y b = 1/6. e^x + cos(x) - a - x = (2 - a) + x^3/6 + o(x^3). Para que el límite sea real debe ser a = 2, y entonces b = 1/6.
lím x→0 (1/L(1 + x) - 1/x) =
A0
B∞
C1
D1/2
Correcta: 1/2. 1/L(1 + x) - 1/x = (x - L(1 + x))/(x L(1 + x)). Numerador equivalente a x^2/2, denominador a x^2: límite 1/2.
Sea L = lím x→0 (e^(ax) - e^x - x)/x^2, para a ∈ R. Entonces L es finito:
Apara un único valor de a y L = 0
Bpara dos valores de a y L = 1/2
Cpara ningún valor de a
Dpara un único valor de a y L = 3/2
Correcta: para un único valor de a y L = 3/2. e^(ax) - e^x - x = (a - 2)x + ((a^2 - 1)/2)x^2 + o(x^2). Es finito solo si a = 2, y entonces L = 3/2.
El lím x→0 (x(e^x - 1) - 2 + 2cos(x))/x^3 vale:
A∞
B1
C1/2
D0
Correcta: 1/2. x(e^x - 1) = x^2 + x^3/2 + o(x^3) y -2 + 2cos(x) = -x^2 + o(x^3). El numerador es x^3/2 + o(x^3): límite 1/2.
Se considera la función f(x) = e^x - x - x^2/2 - λ x^3/6, siendo λ ∈ R. Entonces f presenta un extremo relativo en x = 0:
Apara todo λ ≠ 0
Bsolo si λ = 0
Csolo si λ = 1
Dpara todo λ ∈ R
Correcta: solo si λ = 1. f'(0) = f''(0) = 0 y f'''(0) = 1 - λ. Si λ ≠ 1 la primera derivada no nula es de orden impar: punto de inflexión. Si λ = 1, f''''(0) = 1 > 0: mínimo relativo.

Teorema fundamental del cálculo integral Gratis

Función integral

Si f es continua en [a, b], la función integral asociada a f es F(x) = integral de a a x de f, definida para cada x de [a, b].

Para f no negativa, el valor F(x) de la función integral es el área por debajo de la curva desde a hasta la vertical de abscisa x.

Enunciado del teorema fundamental

El teorema fundamental del cálculo integral afirma que si f es continua en [a, b] y F(x) es la integral de a a x de f, entonces F es derivable en [a, b] y F'(x) = f(x).

El teorema fundamental puede resumirse diciendo que la derivada de la integral de a a x de f es f(x).

Si F(x) = integral de 3 a x^2 de t^2 e^t dt, entonces F'(x) coincide con:
Ax^4 e^(x^2)
Bx^2 e^x
C2x^5 e^(x^2) - 9e^3
D2x^5 e^(x^2)
Correcta: 2x^5 e^(x^2). Por TFC y regla de la cadena: F'(x) = (x^2)^2 e^(x^2) · 2x = 2x^5 e^(x^2).
f: (0,+∞) → R es una función continua que verifica integral de 1 a x de f = 3x^2 - 3x + L(x), ∀x > 0. Entonces:
Af(1) = 4 y f'(1) = 5
Bf(1) = 4 y f'(1) = 0
Cf(1) = 0 y f'(1) = 4
Df(1) = 0 y f'(1) = 0
Correcta: f(1) = 4 y f'(1) = 5. Por TFC: f(x) = 6x - 3 + 1/x, f(1) = 4. f'(x) = 6 - 1/x^2, f'(1) = 5.
Sea f: R → R continua y H(x) = -3x + integral de 1 a x^3 de f(t) dt, G(x) = integral de 1 a x de (3t^2 f(t^3) - 3) dt, ∀x ∈ R. La relación entre H y G es:
AG(x) = H(x) + 3
BG(x) = H(x)
CG(x) = H(x) - 3
DG(x) = 3H(x)
Correcta: G(x) = H(x) + 3. Por TFC: H'(x) = -3 + 3x^2 f(x^3) = G'(x), luego difieren en una constante. G(1) = 0 y H(1) = -3, así que G(x) = H(x) + 3.
Sea G(x) = integral de 1 a x de (3t^2 f(t^3) - 3) dt con f(t) = e^t. Entonces G(x) =
A3 - 3x + e^(x^3) - e
B-3x + e^(x^3) - e
C3 - 3x + e^(x^3)
D3x^2 e^(x^3) - 3
Correcta: 3 - 3x + e^(x^3) - e. G(x) = H(x) + 3 = 3 - 3x + integral de 1 a x^3 de e^t dt = 3 - 3x + e^(x^3) - e.
Sea f: R+ → R continua tal que integral de e a x de f(t) dt = L(x) + λ, con λ ∈ R. Entonces:
Af(e) = 1/(2e^2) y λ = 1
Bf(e) = 1/(2e^2) y λ = -1
Cf(e) = 1/e y λ = 1
Df(e) = 1/e y λ = -1
Correcta: f(e) = 1/e y λ = -1. Derivando (TFC): f(x) = 1/x, f(e) = 1/e. En x = e: 0 = L(e) + λ, λ = -1.
Sea F(x) = integral de 2x+3 a x^3 de e^(-t^2) dt. Entonces el valor de F'(-1) es:
Ae
B0
C5/e
D1/e
Correcta: 1/e. F'(x) = 3x^2 e^(-x^6) - 2e^(-(2x+3)^2). F'(-1) = 3e^(-1) - 2e^(-1) = 1/e.

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