Estadística II

Sea X1, ..., Xn una muestra aleatoria (MA) de X ~ Exponencial de tasa λ (E(X) = 1/λ). ¿Qué estimador, basado únicamente en el mínimo X(1), es insesgado para E(X)?

El nivel de ventas mensuales de un refresco, X, tiene densidad f(x|λ) = (2/(9λ^2))(x - λ) I[λ ≤ x ≤ 4λ], λ > 0, donde λ mide el gasto en publicidad. Se toma una muestra aleatoria (MA) X1, ..., Xn. ¿Es insesgado para λ el estimador por el método de los momentos λ̂ = X̄/3?

El nivel de ventas mensuales de un refresco, X, tiene densidad f(x|λ) = (2/(9λ^2))(x - λ) I[λ ≤ x ≤ 4λ], λ > 0, donde λ mide el gasto en publicidad. Se toma una muestra aleatoria (MA) X1, ..., Xn. Sabiendo que λ̂ = X̄/3 es insesgado y que E(X^2) = (19/2)λ^2, ¿cuánto vale el error cuadrático medio (ECM) de λ̂?

Sea X1, ..., Xn una muestra aleatoria (MA) de X ~ Poisson(λ) y sea Y = suma de Xi. Para estimar θ = e^(-aλ) (a > 0) se propone θ̂ = (1 - a/n)^Y. ¿Por qué θ̂ es insesgado para θ?

Sea X1, ..., Xn una muestra aleatoria (MA) de X ~ Poisson(λ) y sea Y = suma de Xi. Para estimar θ = e^(-aλ) (a > 0) se propone θ̂ = (1 - a/n)^Y. En el caso n = 1 y a = 2, ¿qué problema presenta este estimador insesgado?

Sea X1, ..., Xn una muestra aleatoria (MA) de X ~ N(μ, σ^2) y se desea estimar τ = μσ^2 de manera insesgada a partir de T = X̄ S^2 (S^2 = varianza muestral con divisor n). ¿Qué estimador es insesgado para τ?

Afirmación sobre contrastes de hipótesis: "El nivel de significación de una prueba de hipótesis es la probabilidad de que la hipótesis nula sea verdadera".

Afirmación sobre contrastes de hipótesis: "La potencia de una prueba de hipótesis es la probabilidad de aceptar una hipótesis nula que es verdadera".

Sea X1, X2, X3 una muestra aleatoria (MA) de X ~ Bernoulli(θ). Para contrastar H0) θ = 1/2 contra H1) θ = 2/3 se usa T = X(1) + X(2), la suma de los dos primeros estadísticos de orden, con región crítica RC = {X(1) + X(2) ≥ 2}. ¿Cuánto vale la probabilidad de error de tipo I?

Sea X1, X2, X3 una muestra aleatoria (MA) de X ~ Bernoulli(θ). Para contrastar H0) θ = 1/2 contra H1) θ = 2/3 se usa T = X(1) + X(2), la suma de los dos primeros estadísticos de orden, con región crítica RC = {X(1) + X(2) ≥ 2}. ¿Cuánto vale la probabilidad de error de tipo II?

Una institución de salud considera razonable un consumo promedio de 1,5 medicamentos por consulta; si el promedio poblacional lo excede, sanciona a los médicos que más recetan. Toma una muestra aleatoria (MA) de 400 pacientes (X = medicamentos recetados en la última consulta, E(X) = μ, Var(X) = 1,44) y sanciona si la media muestral supera 1,6. El peor error es sancionar cuando no corresponde. Con H0) μ ≤ 1,5 y la regla "rechazar si X̄ > 1,6", ¿cuál es el nivel de significación (aproximación normal)?

Una institución de salud considera razonable un consumo promedio de 1,5 medicamentos por consulta; si el promedio poblacional lo excede, sanciona a los médicos que más recetan. Toma una muestra aleatoria (MA) de 400 pacientes (X = medicamentos recetados en la última consulta, E(X) = μ, Var(X) = 1,44) y sanciona si la media muestral supera 1,6. El peor error es sancionar cuando no corresponde. Con la regla "sancionar si X̄ > 1,6", ¿cuál es la probabilidad de no sancionar si en realidad μ = 1,7 (aproximación normal)?

El Banco A estimó, con una muestra con reposición de 532 clientes, una proporción de clientes satisfechos p̂A = 0,7703. En una muestra aleatoria (MA) de 3.500 clientes del Banco B, 3.250 se declararon satisfechos. Un consultor afirma que, al 10 % de significación, no se rechaza que ambos bancos tienen el mismo nivel de satisfacción. Según el intervalo de confianza 90 % para pA - pB (percentil 0,95 de la normal estándar: 1,645), ¿es correcta la afirmación?

Una institución de salud considera razonable un consumo promedio de 1,5 medicamentos por consulta; si el promedio poblacional lo excede, sanciona a los médicos que más recetan. Toma una muestra aleatoria (MA) de 400 pacientes (X = medicamentos recetados en la última consulta, E(X) = μ, Var(X) = 1,44) y sanciona si la media muestral supera 1,6. El peor error es sancionar cuando no corresponde. ¿Cómo debe modificarse el umbral k de la regla "sancionar si X̄ > k" (con n = 400) para que la probabilidad de error de tipo I no supere el 2,5 %?

Un medicamento conocido es efectivo en el 80 % de los casos. Una nueva droga se prueba en 100 pacientes y resulta efectiva en 85. Al 5 % de significación (aproximación normal), ¿es la nueva droga más efectiva que la conocida?

La vida útil X de unas computadoras tiene densidad f(x|λ) = λ^2 x e^(-λx) I[x > 0], λ > 0 (Gamma(2, λ), con E(X) = 2/λ y Var(X) = 2/λ^2). Con una muestra aleatoria (MA) de tamaño n = 32 se contrasta H0) λ = 1 contra H1) λ = 2/3. Con la región {x̄ ≥ k} y el teorema del límite central, ¿cuánto debe valer k para que α = 0,05?

El Ministerio de Educación afirma que el 90 % de los jóvenes de enseñanza media tiene acceso a Internet y el sindicato de profesores sostiene que el porcentaje p es menor. Se hará un contraste con nivel de significación 0,01, usando la aproximación normal de la proporción muestral p̂. Además se quiere que, si p = 0,85, la probabilidad de no rechazar la afirmación del Ministerio sea 0,10. Use z_0,99 = 2,33 y z_0,90 = 1,285. ¿Qué tamaño de muestra debe tomarse?

El Ministerio de Educación afirma que el 90 % de los jóvenes de enseñanza media tiene acceso a Internet y el sindicato de profesores sostiene que el porcentaje p es menor. Se hará un contraste con nivel de significación 0,01, usando la aproximación normal de la proporción muestral p̂. Con una muestra de n = 537 jóvenes y z_0,99 = 2,33, ¿cuál es la región crítica?